Hyperkähler structures and infinite-dimensional Grassmannians

In this paper, we describe an example of a hyperkähler quotient of a Banach manifold by a Banach Lie group. Although the initial manifold is not diffeomorphic to a Hilbert manifold (not even to a manifold modelled on a reflexive Banach space), the quotient space obtained is a Hilbert manifold, which can be furthermore identified either with the cotangent space of a connected component Gr res, (j ∈ Z), of the restricted Grassmannian or with a natural complexification of this connected component, thus proving that these two manifolds are isomorphic hyperkähler manifolds. Moreover, Kähler potentials associated with the natural complex structure of the cotangent space of Gr res and with the natural complex structure of the complexification of Gr res are computed using Kostant-Souriau’s theory of prequantization. Résumé Dans cet article, nous présentons un exemple de quotient hyperkählérien d’une variété banachique par un groupe de Lie banachique. Bien que la variété initiale ne soit pas difféomorphe à une variété hilbertienne (ni même à une variété modelée sur un espace de Banach réflexif), l’espace quotient obtenu est une variété hilbertienne, qui peut être identifiée, selon la structure complexe distinguée, soit à l’espace cotangent d’une composante connexe Gr res (j ∈ Z) de la grassmannienne restreinte, soit à une complexification naturelle de cette même composante connexe. De plus, les potentiels kählériens associés respectivement à la structure complexe naturelle de l’espace cotangent de Gr res et à la structure complexe naturelle de la complexification de Gr res sont calculés à l’aide de la théorie de préquantisation de Kostant-Souriau.